Question

问一道高中几何题

已知三棱椎A-BCD中，角BCD=90度，BC=CD=1，AB垂直于平面BCD，角ADB=60度，E、F分别是 AC、AD的动点，且AE/AC=AF/AD=x（0<x<1）
（1）求证：不论x为何值，总有平面BEF垂直于平面ABC
（2）当x为何值时，平面BEF垂直于平面ACD

Answer 1

（1）求证：不论x为何值，总有平面BEF垂直于平面ABC

∵AE/AC=AF/AD
∴EF∥CD
∵CD⊥BC,CD⊥AB(∵AB⊥平面BCD﹚
∴CD⊥平面ABC
∴EF⊥平面ABC
∴不论x为何值，总有平面BEF⊥平面ABC

（2）当x为何值时，平面BEF垂直于平面ACD
若平面BEF⊥平面ACD，
∵平面BEF∩平面ACD=EF,AC⊥EF
∴AC⊥平面BEF
∴AC⊥BE
∵角BCD=90度，BC=CD=1
∴BD=√2，
∵AB⊥BD,∠ADB=60度
∴AD=2√2，AB=√6
∴AC=√7
∵AE∶AB=AB∶AC
∴AE=6／√7=6√7／7
∴EC=√7／7
∴X=6／7

Answer 2

1、
因为角BCD=90度，BC=CD=1
所以BD=√2；（勾股定理）
因为AB⊥面BCD，角ADB=60度
所以AD=2√2；AB=√6；AC=√7(三角函数和勾股定理)
因为AD=2√2；AC=√7；CD=1
所以三角形ACD是直角三角形，ACD是直角
所以CD⊥AC；-----------（1）
因为角BCD=90度
所以CD⊥BC---------------（2）
AC、BC教育C点，-----------（3）
所以CD⊥面ABC
因为AE/AC=AF/AD=X
所以EF//CD
所以EF⊥面ABC
所以不论x为何值，总有平面BEF垂直于平面ABC
2、
因为不论x为何值，总有平面BEF垂直于平面ABC
所以EF⊥BE
所以当BE⊥AC那么面BEF⊥面ACD
所以三角形ABC相似于AEB
所以AE/AB=AB/AC
得到AE=AB*AB/AC=√6x√6/√7=6/√7
x=AE/AC=(6/√7)/√7=6/7

Answer 3

（1）AB垂直于平面BCD，所以AB⊥CD，有CD⊥BC，AB,BC都在平面ABC内并且相交于B，所以CD⊥ABC
，AE/AC=AF/AD=x，所说义EF∥CD，所以EF⊥ABC，EF属于平面BEF，所以总有平面BEF垂直于平面ABC

（2）根据BC=CD=1，AB垂直于平面BCD，角ADB=60度，可以求出AB=根号6，BD=根号2，AD=2倍根号2，AC=根号7，因为BE⊥CD，若满足平面BEF垂直于平面ACD，则BE垂直AC即可，
则AB^2=AE*AC，x=AE/AC=AB^2/AC^2=6/7