Question

高数证明e^x大于等于1+x(x大于等于0)

求大神

Answer 1

分析e^x -1-x ,其导数 = e^x-1，当x=0时，导数=0，x>0时，导数>0，x< 0时，导数< 0 ,所以函数e^x-1-x在x=0时取最小值0，其余均>0.所以e^x>=1+x。
本方法不仅证明了x>=0时，e^x>=1+x,而且证明了x为全体实数时，e^x>=1+x。

Answer 2

令f(x)=e^x-1-x,
求导得:f(x)'=e^x-1
x≥0,有e^x≥1,所以f(x)'≥0
所以x≥0时,f(x)单调增
所以f(x)在x=0处取得最小值,f(0)=0
所以x≥0时,有f(x)≥f(x)min=0,所以e^x-1-x≥0
所以x≥0时,e^x≥1+x.

Answer 3

设e^x>=1+x
两边取自然对数
lne^x>=ln(1+x)
x>=ln(1+x)
设x>0,两边同除以x, 1>=ln(1+x)^(1/x)

由两个重要极限之一知：(1+x)^(1/x)<=e
所以 ln(1+x)^(1/x)<=1,

假设成立，原命题得证。
当x<0时，同理有
x>=ln(1+x)
1<=ln(1+x)^(1/x)
因为此式不成立，所以知当x<0时原不等式不成立。

Answer 4

令y=e^x-x-1,在对y求导y'=e^x-1>0，于是y在[0,无穷)单调递增，于是y>0了，望采纳！！

Answer 5

构造函数f(x)=e^x-(x+1),x>0.求导，f'(x)=e^x-1>f'(0)=0,说明原函数单增，所以f(x)>f(0)=0，所以……