Question

试证:nZ=n(min(X1,X2,…,Xn))是θ的无偏估计量.

1. 设总体X服从参数为θ的指数分布，概率密度为

其中，参数θ>0为未知，又设X1，X2，…，Xn是来自X样本，试证：nZ＝n(min（X1，X2，…，Xn））是θ的无偏估计量.
想知道Z的概率密度是怎么求出来的，具体过程和解释

Answer 1

(1)f(x)=1/θe^(-x/θ) F(x)=∫(1,0)f(x)dθ=1-e^(-x/θ)
Fmin(xi)=1-(1-F(x))^n=1-e^(-nx/θ)
fmin(x)=n/θe^(-nx/θ) 0<x<1
所以fmin(x)仍然服从指数分布
(2)fmin(x)=n/θe^(-nx/θ) 0<x<1
E(z)=θ E(z/C)=θ/n E(z)/C=θ/n=>C=n
(3)D(x)=θ^2 故D(X平均值)=θ^2/n,由于D(xi)=θ^2/n^2 故有D(z)=n^2D(xi)=θ^2
当n>1时，D(nz)>D(x平均值),故x平均值较Z有效 觉得好请采纳