设a,b,c为实数,求证方程4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一实根
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令f(x)=ax⁴+bx³+cx²-(a+b+c)x
f(0)=0, f(1)=a+b+c-(a+b+c)=0
由罗尔定理，在(0,1)区间，必有f'(x)=0必有解。
而f'(x)=4ax³+3bx²+2cx-(a+b+c)
所以4ax³+3bx²+2cx=a+b+c, 在(0,1)内至少有一实根。
f(0)=0, f(1)=a+b+c-(a+b+c)=0
由罗尔定理，在(0,1)区间，必有f'(x)=0必有解。
而f'(x)=4ax³+3bx²+2cx-(a+b+c)
所以4ax³+3bx²+2cx=a+b+c, 在(0,1)内至少有一实根。
追问
为什么f(x)=ax⁴+bx³+cx²-(a+b+c)x以后abc前面的432就没有了？
追答
有呀，一求导,f'(x)就产生了前面的4，3，2.
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