已知直线y=2x+1被抛物线y^2=2px截得的弦长为根号15.求此抛物线的方程.
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设两交点为(x1,y1)、(x2,y2)
则弦长L=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=√((x1+x2)^2-*4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2)
联立y=2x+1
y^2=2px
得4x^2+(4-2p)x+1=0.........................(1)
y^2-py+p=0......................................(2)
由(1)式有，x1+x2=-(4-2p)/4=(p-2)/2
x1x2=1/4
由(2)式有，y1+y2=p
y1y2=p
代入弦长L=√((p-2)/2)^2-1+p^2-4p=√15
有((p-2)/2)^2-1+p^2-4p=15
解得p=-2或6
即抛物线方程y^2=-4x
或y^2=12x
则弦长L=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=√((x1+x2)^2-*4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2)
联立y=2x+1
y^2=2px
得4x^2+(4-2p)x+1=0.........................(1)
y^2-py+p=0......................................(2)
由(1)式有，x1+x2=-(4-2p)/4=(p-2)/2
x1x2=1/4
由(2)式有，y1+y2=p
y1y2=p
代入弦长L=√((p-2)/2)^2-1+p^2-4p=√15
有((p-2)/2)^2-1+p^2-4p=15
解得p=-2或6
即抛物线方程y^2=-4x
或y^2=12x
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