Question

已知函数fx=m+2/2x+1是奇函数 1求m的值 2求fx的值域 3判断fx的单调性

已知函数fx=m+2/2x+1是奇函数
1求m的值
2求fx的值域
3判断fx的单调性

Answer 1

解1f(x)=m+2/2^x+1的定义域为R
又由f（x)是奇函数
则f（0）=0
即f(0)=m+2/2^0+1=m+1=0
即m=-1
2由1知f(x)=-1+2/2^x+1
当x属于R时
则2^x＞0
即2^x+1＞1
即0＜1/(2^x+1)＜1
即0＜2/(2^x+1)＜2
即-1＜-1+2/(2^x+1)＜1
则-1＜f（x）＜1
即函数的值域为（-1，1）
3函数为减函数
设x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=-1+2/2^x1+1-（-1+2/2^x2+1）
=2/（2^x1+1）-2/（2^x2+1）
=2（2^x2+1）/（2^x2+1)（2^x1+1）-2（2^x1+1）/(2^x1+1)（2^x2+1）
=[2（2^x2+1）-2（2^x1+1）]/(2^x1+1)（2^x2+1）
=[2（2^x2-2^x1）]/(2^x1+1)（2^x2+1）
由x1＜x2
则2^x1＜2^x2
即2^x2-2^x1＞0
即[2（2^x2-2^x1）]/(2^x1+1)（2^x2+1）＞0
即f（x1）-f（x2）＞0
则函数f（x）为减函数