Question

已知函数f=m+2/2^x+1是奇函数，求m的值.求值域.求单调性

Answer 1

解由f(x)是奇函数且函数的定义域为R
则f(0)=0
即m+2/(2^0+1)=0
即m=-1
故f(x)=-1+2/(2^x+1)
故设x1，x2属于R且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=[-1+2/(2^x1+1)]-[-1+2/(2^x2+1)]
=2/(2^x1+1)-2/(2^x2+1)
=2(2^x2-2^x1）/(2^x2+1)(2^x1+1)
由x1＜x2
则2^x1＜2^x2
则2^x1-2^x2＜0
即2^x2-2^x1＜0
即2(2^x2-2^x1）/(2^x2+1)(2^x1+1)＞0
故f(x1)-f(x2)＞0
故f(x)在R上为减函数
由2^x＞0
即2^x+1＞1
即0＜1/(2^x+1)＜1
即0＜2/(2^x+1)＜2
即-1＜-1+2/(2^x+1)＜1
即-1＜f(x)＜1
故函数的值域为(-1,1).