Question

如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．

（1）如图1，当α=60°时，∠BCE=____；
（2）如图2，当α=90°时，试判断∠BCE的度数是否发生改变？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；
（3）如图3，当α=120°时，则∠BCE=____.

Answer 1

解：（1）如图，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°
∴△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC=60°，AD=AE，∠BCA=60°，
即，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°；

（2）如图，过D作DF⊥BC，交CA延长线于F，

∵∠BAC=∠FDC=90°，
∴∠ACB=∠DFC=45°，
∴在直角△FDC中：DF=DC，
又∵∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠CDE
又∵DA=DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DFA=∠DCE，
∴∠DCE=45°；
同理，过D作DF⊥BC，AC于点F时，∠DFA=∠DCE=135°．
综上所述，∠DCE=45°或∠DCE=135°；

（3）如图，延长CA到点F，使AF=AC，连接FD．同理当∠FDC=120°时，

∵∠ADE=∠BAC=120°，
∴∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC，∠ACB=30°，
∴∠FDA=∠CDE，∠DFC=∠ACB=30°，DF=DC，
又AD=DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DCE=∠DFA=30°．