Question

有道题请教一下高人：,已知:点D 是△ABC 的边BC 上一动点,且AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=α.

如图1，在Rt△ ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1 点D 为AC 上一动点，连接BD，以BD 为边作等边△ BDE，EA 的延长线交BC 的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1 时，则AF= _________ ；（2）当0＜n＜1 时，如图2，在BA 上截取BH=AD，连接EH，求证：△ AEH 为等边三角

Answer 1

（1）当n=1时，则AF=2

解：∵△BDE是等边三角形，
∴∠EDB=60°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°，
∴FAC=180°-60°-60°=60°，
∴∠F=180°-90°-60°=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=180°-90°，
∴AF=2AC=2×1=2；

（2）证明：∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60°=∠CBD+90°，
∴∠ADE=30°+∠CBD，
∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，
∴∠HBE=30°+∠CBD，
∴∠ADE=∠HBE，
在△ADE与△HBE中，

BH=AD∠ADE=∠HBEBE=BD​
，
∴△ADE≌△HBE（SAS），
∴AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60°，
∴△AEH为等边三角形．