Question

高中数学抛物线的问题

已知抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(X0，3)到焦点F的距离为4，斜率为2的直线y与抛物线C交于A，B两点
1 求抛物线C的标准方程
2 若线段|AB|=12倍的根号5，求直线l的方程

Answer 1

1.设x²=2py ,(p＞0)
P(X0，3)到焦点F(0,p/2的距离为4
∴xo²=6p
∴6p+(3-p/2)²=4²
∴p=-14(舍),p=2
抛物线C的标准方程：x²=4y.
2.设L:y=2x+b
与x²=4y联立得：x²-8x-4b=0
∴x1+x2=8,x1x2=-4b
∴√1+4√64+16b=12√5
∴b=5
直线l的方程:y=2x+5

Answer 2

解：1、依题意可设抛物线C的标准方程为x^2=2py(p＞0)，则焦点F坐标为（0，p/4）， 准线方程为y=-p/4，抛物线上的点P(X0，3)到焦点F的距离为4，则有x0^2=6p，3-（-p/4)=4,可解得x0=2√6，p=4
所以抛物线C的标准方程为x^2=8y
2、设斜率为2的直线方程为y=2x+b，A（x1,y1），B（x2,y2）联立x^2=8y，y=2x+b消去y得
x^2-16x-8b=0,则x1+x2=16,x1*x2=-8b,|AB|=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=√(5((x1+x2)^2-4x1*x2))=√5(256+32b)=12√5,可得b=-51/8，所以所求直线方程为y=2x-51/8