Question

高中数学抛物线问题

1.已知抛物线C：y的平方=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且/AK/=根号2倍/AF/，则三角形AFK的面积为？

2.已知抛物线“y=a乘x的平方-1”的焦点为原点。那么抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为？

没有过程不给分哦

Answer 1

（1）y^2=8x F(2,0),准线:X=-2 准线与X轴地交点为K(-2,0),|KF|=4 过A作AB⊥准线:X=-2,交准线于B点,则|AB|=|AF| |AK|=√2|AF| |AB|/|AK|=|AF|/|AK|=1/√2 ∠AKF=∠BAK=45°,k(AK)=±1 取k=1 直线AK:y=x+2,x=y-2 y^2=8x=8(y-2) y^2-8y+16=0 y=4 k=-1,y=-4 3角形AFK地面积S=|KF|*|y|/2=4*4/2=8
（2）y=ax^2-1的焦点为(0,a/2-1）
焦点是坐标原点，所以a/2-1=0，a=2
抛物线的解析式为y=2x^2-1
令y=0解得x=√2/2或x=-√2/2,所以x轴的两个交点为(√2/2,0),(-√2/2,0)
与y轴交点为(0,-1)
面积为1/2*√2*1=√2/2

Answer 2

（1）C：y^2=8x
焦点F(2,0),准线:X=-2
准线与X轴的交点为K(-2,0),|KF|=4
过A作AB⊥准线:X=-2,交准线于B点,则|AB|=|AF|
|AK|=√2|AF|
|AB|/|AK|=|AF|/|AK|=1/√2
∠AKF=∠BAK=45°,k(AK)=±1
取k=1
直线AK:y=x+2,x=y-2
y^2=8x=8(y-2)
y^2-8y+16=0
y=4
k=-1,y=-4
三角形AFK的面积S=|KF|*|y|/2=4*4/2=8
（2）抛物线方程变形为：x^2=(1/a)(y+1)，则焦点为：( 0，(1/4a)-1 )
∵抛物线的焦点是坐标原点
∴(1/4a)-1=0
解得：a=1/4
∴抛物线方程：y=(1/4)x^2 -1
则抛物线与x轴的交点距离|x1x2|=4 ，与y轴=1
S=(1/2)*4*1=2

Answer 3

1. 作A到准线的垂线，垂足为H,根据抛物线性质，到焦点距离等于到准线距离，|AF|=|AH|
直角三角形AHK中，|AK|=√2 |AH|,此三角形为等腰直角三角形，即直线AK斜率为1
直线AK方程为y=x+2,点A坐标为(2,4)△AFK面积为4*4/2=8
2. 0+1=1/4a ∴a=1/4,抛物线方程为y=x²/4-1
与两坐标轴的三个交点为(0,-1),(±2,0）
面积为4*1/2=2

Answer 4

（1）C：y^2=8x
焦点F(2,0),准线:X=-2
准线与X轴的交点为K(-2,0),|KF|=4
过A作AB⊥准线:X=-2,交准线于B点,则|AB|=|AF|
|AK|=√2|AF|
|AB|/|AK|=|AF|/|AK|=1/√2
∠AKF=∠BAK=45°,k(AK)=±1
取k=1
直线AK:y=x+2,x=y-2
y^2=8x=8(y-2)
y^2-8y+16=0
y=4
k=-1,y=-4
三角形AFK的面积S=|KF|*|y|/2=4*4/2=8
（2）抛物线方程变形为：x^2=(1/a)(y+1)，则焦点为：( 0，(1/4a)-1 )
∵抛物线的焦点是坐标原点
∴(1/4a)-1=0
解得：a=1/4
∴抛物线方程：y=(1/4)x^2 -1
则抛物线与x轴的交点距离|x1x2|=4 ，与y轴=1
S=(1/2)*4*1=2

Answer 5

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第一题