Question

高中数学导数：已知函数f(x)=aln(x+z),g(x)=x-1/2x^2.a∈R

2、3小题不会

Answer 1

(2)设h（x）等于f(x)-g(x),对h（x）求导数，令导数大于零得到x^2>1-a，当a大于等于1时，导数大于等于0恒成立h（x）递增，故h（x）最小值是h（0）=0，h（x）大于等于0恒成立，当a小于1时函数h（x）在(0，根号下1-a)是单调递减的，因为h（x）=0所以h（x）必然会小于0，所以a小于1的时候不能满足题意，所以a最小值为1.
(3)p（x）=alnx，直线AB斜率为a（lnx2-lnx1）/(x2-x1),在x3切线斜率为1/X3，因此要证明x3=（x2-x1）/（lnx2-lnx1）<（x1+x2）/2。因为x2大于x1，可以设x2=tx1，t>1因此问题转化为证明（t-1）/lnt<（t+1）/2（*）式，作函数H(t)=tlnt+lnt-2t-2,求2阶导数知道二阶导数大于零对t大于1恒成立，故1阶导数单调递增大于H'(0)=0，因此H(t)单调递增且H（t）大于H(1)=0，这就是（*）式，因此对任意t大于1（*)式成立，由x2，x1的定义知原命题得证

追问

令导数大于零得到x^2>1-a,为什么令导数大于零？

追答

求它的单调增区间，从而为下面铺路，求得h（x）大于等于0恒成立

追问

（t-1）/lnt<（t+1）/2 的证明可以详细点吗？

追答

就是比较麻烦，先将不等式移到一边，令H(x)=tlnt+lnt-2t-2，求导得H‘(x)=lnt+1/x-1，令H‘(x)=0得t=1，下面就差不多了