Question

如图 在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的点,求证BD²+CD²=2AD²

如图 在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的点,求证BD²+CD²=2AD²

Answer 1

证明：将三角形ABD逆时针旋转90度得到三角形ACE，连接DE
所以BD=CE
角ABC=角ACE
AD=AE
角DAE=90度
所以三角形DAE是等腰直角三角形
所以由勾股定理得：
DE^2=AD^2+AE^2
所以DE^2=2AD^2
因为角BAC=90度
AB=AC
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以角ABC=角ACB=45度
所以角ACE=45度
所以角DCE=角ACB+角ACE=90度
所以三角形DCE是直角三角形
所以由勾股定理得：
DE^2=CD^2+CE^2
所以DE^2=CD^2+BD^2
所以BD^2+CD^2=2AD^2