Question

高二数学：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=1/2，一个顶点的坐标为（0，根号3）

（1）求椭圆方程（这个就不用了）
（2）椭圆C的左焦点为F，右顶点A，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点且向量AM*向量AN=0，试问：是否存在实数a，使得S△FMN=aS△AMN成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

有赏！！！

Answer 1

解:设椭圆方程为x^2/a`^2+y^2/b^2=1，则b=√3,a`=2,由向量AM*AN=0知，AM垂直于AN，那么M、N两点一定位于x轴两侧，假设M点位于X轴下方，坐标为(x1,y1)N点位于X轴上方，坐标为(x2,y2)，直线L与X轴交于（-m/k，0）点。F为左焦点，坐标为（-1，0），A点坐标为（2，0）
S△AMN=1/2|AN|.|AM|.sinA=1/2y2(2+m/k)+1/2(-y1)(2+m/k)=1/2(2+m/k)(y2-y1)

S△FMN=1/2y2(1-m/k)+1/2(-y1)(1-m/k)=1/2(1-m/k)(y2-y1)

S△FMN/S△AMN=(1-m/k)/(2+m/k)=(k-m)/(2k+m)
所以，只要2k+m不为0，则有a=(k-m)/(2k+m)一个实数的存在。

另外一种解法：
因为这两个三角形共底MN，已知A、F两点的坐标可知，这两点到直线L的距离。点（xo,yo）到直线ax+by+c=0的距离为|axo+byo+c|/√a^2+b^2可知：
S△AMN=1/2|2k-0+m|/√k^2+1.|MN|
S△FMN=1/2|-k-0+m|/√k^2+1.|MN|
所以S△FMN/S△AMN=|k-m|/|2k+m|