在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交与G、H，且∠ABE=∠CBE
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证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
∵在△DBH和△DCA中，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH=AC；
（2）连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
∵在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：
BG2﹣GE2=EA2．
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
∵在△DBH和△DCA中，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH=AC；
（2）连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
∵在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：
BG2﹣GE2=EA2．
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