Question

从自然数中任意取出6个数，其中至少有2个数的差是5的倍数。为什么？

Answer 1

抽屉原理啊
因为正整数除以5，余数有5种可能，即0，1，2，3，4
两个数除以5的余数相同
则这两个数的差能被5整除
如果有5个非零的自然数，他们之间的差都不是5的倍数
则他们除以5，余数分别是0，1，2，3，4
那么，第六个数，不论除以5余数是几，都和前面5个数中的一个相同
则这两个数的差是5的倍数
因此命题得证

Answer 2

首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以5的余数相同，那么这两个自然数的差是5的倍数。而任何一个自然数被5除的余数，或者是0或1或2或3或4，根据这五种情况，可以把自然数分成5类，这5种类型就是我们要制造的5个“抽屉”。我们把6个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，6个自然数分成5类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被5除的余数就一定相同。所以，任意6个自然数，至少有2个自然数的差是5的倍数。　同理，从自然数中任意取出n+1个数，其中至少有2个数的差是n的倍数（n＝2，3，4，……）

Answer 3

两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这5个自然数中有2个自然数，它们除以4的余数相同.我们可以把所有自然数按被4除所得的4种不同的余数0、1、2、3分成4类.也就是4个抽屉.任取5个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以4的余数相同，因此这两个数的差一定是5的倍数。