Question

设三元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的矩阵满足A^2+2A=0 且a1=(0,1,1)T是齐

设三元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的矩阵满足A^2+2A=0 且a1=(0,1,1)T是齐次方程组Ax的基础解系，求二次型f的表达式

Answer 1

这个计算麻烦, 只能给你说思路
A^2+2A=0 说明 A 的特征值只能是 0, -2

a1=(0,1,1)T是齐次方程组Ax的基础解系

说明 r(A)=2, 且 a1 是A的属于特征值0 的特征向量
所以 -2 是 A 的二重特征值
求出与 a1 正交的两个向量 构成可逆矩阵P
则 A = Pdiag(0,-2,-2)P^-1
由此得二次型的表达式