Question

已知三角形ABC的面积为S，且S=根号3/4（b²+c²-a²）

（1）求A的大小 （2）若a=6，求该三角形周长的范围

Answer 1

⑴由题意：S=(1/2)bc·sinA=(√3/4)(b²＋c²－a²)
∴sinA=(√3)(b²＋c²－a²)/2bc
sinA=(√3)cosA
tanA=√3
∴A=π/3
⑵由余弦定理：a²=b²＋c²－2bc·cosA=b²＋c²－2bc·(1/2)=b²＋c²－bc=(b＋c)²－3bc=36
根据基本不等式，有：(b＋c)²≥4bc
∴(b＋c)²－3bc≥(b＋c)²－(3/4)(b＋c)²=(1/4)(b＋c)²
36≥(1/4)(b＋c)²
(b＋c)²≤144 ， (当且仅当b=c时等号成立)
∴b＋c≤12
∵由已知：b＞，c＞0且b＋c＞a=6
∴6＜b＋c≤12
∴三角形周长的范围是：(12，18]