Question

已知，四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE,连接AE，F是线段AE

的中点。如图二，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB，AC于点G，H，连接GC ，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=2分之15倍的根号3，求线段GC的长（不要看第一个图）

Answer 1

分三步走：先根据余弦定理算出矩形长宽比，再根据面积的已知条件算出矩形长与宽，最后求CG长。
1)对△FBD，运用余弦定理建立等式
设AB=c,BC=a,AC=b
运用勾股定理，FB²=1/4c²+1/4(b-a)²
FD²=1/4c²+1/4(b+a)²
又BD=AC=b
运用余弦定理，FB²=FD²+BD²-2FD*BD*cos30º
代入并化简变形得，2a²+ab-b²=0,
即，(2a-b)(a+b)=0, 于是得，b=2a
可见，△ABC是一个角为30º的特殊直角三角形
2)进行几何分析，△ADO为等边△，则HD⊥AO，即，GH⊥AH
S△AGH=AG²/AC²S△ABC=（√3/3a)²/b²S△ABC=1/3(a²/b²)S△ABC
=1/12S△ABC
S△ABO=1/2S△ABC
则S◇GBOH=S△ABO-S△AGH=5/12S△ABC=5/12*a²*√3/2=15/2√3
解得，a=6
3)运用勾股定理,CG²=BC²+BG²
BC=6
BG=AB-AG=6√3-6*√3/3=4√3
故，CG²=36+(4√3)²=84,
CG=2√21

Answer 2

连接OF，OF是三角形AEC中位线，OF∥BE，OF=BE/2
BD=AC=√（BC²+AB²）
AE²=（CE-BC）²+AB²
=[√（BC²+AB²）-BC]²+AB²
= 2AB² + 2BC²+ 2BC√（BC²+AB²）
AF=EF=AE/2
CF²=DF²= CE²-AF²
=（BC²+AB²） - [ 2AB² +2BC²+ 2BC√（BC²+AB²）]/4
= （BC²+AB²）/2 - BC√（BC²+AB²）/2
S△OFD=OF*AB/4=DF*ODsin30°/2
AC*AB/8=DF*AC/8
DF²=AB²
（BC²+AB²）/2 - BC√（BC²+AB²）/2=AB²
（BC²-AB²）² = BC²（BC²+AB²）
（1- AB²/BC²）² = 1+ AB²/BC²
AB²/BC²=3，AB/BC=√3
∠ADB=60°，∠ADF=30°
AC⊥DF
AG=AD*tan∠ADF=AB/3

S四边形GBOH=S△OAB-S△AGH
= √3/4 BC² -√3/12 BC²
= √3/6 BC² = 15√3 /2
BC= 3√5 ， AB=3√15，BG=2AB/3=2√15
GC=√（BC²+BG²）= √105