Question

三次函数的拐点就是三次函数的对称中心求证明 急急

Answer 1

为了方便理解及计算，将3次方系数令为1，2次方系数记为3b
y=x^3+3bx^2+cx+d
由y"=6x+6b=0得x=-b
当x=-b时，y=2b^3-bc+d, 即(-b, 2b^3-bc+d)为拐点
将y配成x+b的式子： y=x^3+3bx^2+3b^2x+b^3+(c-3b^2)x+b(c-3b^2)+2b^3-bc+d=(x+b)^3+ (c-3b^2)(x+b)+(2b^3-bc+d)
记x'=x+b, y'=y-(2b^3-bc+d), 则化为：y'=x'^3+(c-3b^2)x'
可看到y'是关于x'的奇函数，也就是中心对称了。
而这个对称中心恰好在原坐标里是(-b, 2b^3-bc+d),为拐点。