Question

若函数f(x)满足对一切实数x,y,都有f(x)+f(y)=x(2y-1)

若函数f(x)满足对一切实数x,y,都有f(x)+f(y)=x(2y-1)
（1）求f(0),f(1)的值
（2）求该函数的解析式
（3）若f(x)>3/2x+a恒成立，求a的取值范围
第（1）题为什么设x=0,y=1得出的f(1)的值不对

Answer 1

令x=y=0，带入 f(0)+f(0)=0
f(0)=0
令x=y=1 带入 f(1)+f(1)=1
f(1)=1/2

令y=x 带入 f（x)+f(x)=x(2x-1)
f(x）=x^2-x/2

a＜1 f(x)=x^2-x/2＞3/2x+a
恒成立 即 （x-1)^2-1＞a恒成立 所以左边的最小值大于a就可以了 所以a＜-1
如果设x=0，那么不管求哪个值都是0 了

追问

如果设x=1,y=0得出的结果还是不对

追答

其实我做的时候也是这样问老师，老师也没有明确的说法，让我记住这样做就得。我觉得题目有问题

追问

。。。

Answer 2

解答:解:(1)∵函数f(x)满足:对一切实数x，y都有
f(x)+f(y)=x(2y-1)，
∴令x=y=0，则2f(0)=0，
∴f(0)=0，
令x=y=1，则2f(1)=1，
∴f(1)=
1
2
.
(2)令x=y则
f(x)=
x(2x-1)
2
即f(x)=x2-
1
2
x，
(3)∵不等式f(x)＞
3
2
x+a恒成立，
即
x(2x-1)
2
＞
3
2
x+a恒成立，
∴a＜x2-2x=(x-1)2-1，
∵(x-1)2-1≥-1，
∴a＜-1，即a的取值范围是(-∞，-1).