Question

如图,AD‖BC,∠ABC=90°,DF⊥BC于点F,DF=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED. 求证：ED=BE+FC.

Answer 1

过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，
∴CN=CE，

可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，
∴△DEC≌△DNC，
∴ED=EN，
∴ED=BE+FC．

                    

   

追问

0.0没看懂求详解
请问在吗 @0513hsiao

Answer 2

注：∠FDC=∠1，∠BCG=∠2

证明：延长EB至点G，使BG=CF，连接CG..

∵AB为四边形ADBC的高[已知]

∴AB⊥BC   

∵DF⊥BC[已知] AB⊥BC[已证]

∴∠DFC=∠CBG=90°

在Rt△DFC和Rt△CBF中

丨DF=BC[已知]

丨CF=BG[已作]

∴Rt△DFC≌Rt△CBF[HL]

∴∠1=∠2，DC = CG [全等三角形对应边、对应角相等]

∵∠1+∠DCF=90°[直角三角形两个锐角互余],∠1=∠2[已证]

∴∠2+∠DCF=90°[等量代换]

∵∠DCE=45°∠1+∠DCF=90°[已知]∠DCE+∠ECF=∠DCF

∴∠1+∠ECF=90°-45°=45°

∵∠2=∠1，∠1+∠ECF=45°[已证]

∴∠2+∠ECF=45°[等量代换]

即∠ECG=45°

∵∠ECD=45°[已知]∠ECG=45°[已证]

∴∠ECD=∠ECG=45°[等量代换]

在△DEC和△EGC中

丨EC=EC[公共边]

丨∠ECD=∠ECG[已证]

丨DC = CG [已证]

∴△DEC≌△EGC[SAS]

∴ED=EG[全等三角形对应边相等]

∵EG=BE+BG，BG=FC[已作]

∴ED=BE+FC[等量代换]