Question

高数问题求解

求函数f（x）=ln（1+x^2）的f（n）（0）。。。。那个（n）是在上面。。手机打不出来。。就是f（x）的n阶导数。。。

Answer 1

1阶：2x*(1+x^2)^(-1)
运用莱布尼茨公式对f(x)的一阶导数求n-1阶导
由于2x的一阶导数为2，二阶及其以后均为0
所以f(x)的n阶导数为C(n-1,0)*（2x的0阶）*[(1+x^2)^(-1)的n-1阶]+C(n-1,1)（2x的1阶）*[(1+x^2)^(-1)的n-2阶]
其中，C为组合符号
(1+x^2)^(-1)的n-1阶=(-1)^(n-1)*2^(n-1)*(n-1)！*(1+x^2)^(-n)
(1+x^2)^(-1)的n-2阶=(-1)^(n-2)*2^(n-2)*(n-2)！*(1+x^2)^(-n-1)
f(x)的n阶导数=2x*(-1)^(n-1)*2^(n-1)*(n-1)！*(1+x^2)^(-n)+(n-1)*2*(-1)^(n-2)*2^(n-2)*(n-2)！*(1+x^2)^(-n-1)