Question

如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E作EM⊥AD于M．（1）求证：AB?DE=BE?AE

如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E作EM⊥AD于M．（1）求证：AB?DE=BE?AE； （2）求EMBC的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴

AB

EC

=

AE

ED

，
∴AB?ED=EC?EA，
∵E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴AB?DE=BE?AE．

（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，
∵AB?DE=BE?AE，
∴

AB

BE

=

AE

DE

，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=

NE

BE

=

3

2

，
∵BE=EC，
∴

EN

BC

=

EM

BC

=

3

4

．