Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公

已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=2，求证：1a1+2a2+3a3+…+nan＜4．

Answer 1

（Ⅰ）取n=1得λ

a

2 1

＝2a1，
 若a₁=0则S_n=0当n＞2时，a_n=0，
 若a₁≠0则a1＝

2

λ

，所以n＞2时，
 由2an＝

2

λ

+Sn，2an?1＝

2

λ

+Sn?1相减得a_n=2a_n-1，
 所以数列{a_n}是等比数列，于是an＝

2n

λ

，
 综上可知：若a₁=0时，a_n=0，若a₁≠0，则an＝

2n

λ

（Ⅱ）a₁＞0，λ=2时，an＝

2n

λ

，
 设T_n=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

即T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n?1

 所以，T_n=2T_n-T_n=2+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n?2^

=4?

n+2

2n?1

＜4