Question

已知数列｛an}的前n项和为Sn，常数入>0,且入a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立。

<1>求数列{an}的通项公式<2>设a1>0,入=100.当n为何值时，数列{lg(1/an)}的前n项和最大？

Answer 1

1. 由题设：

   令n=1得：λa1a1=S1+S1=2a1 则a1=0或a1=2/λ

   若a1=0，则Sn=0，从而an=0

   若a1=2/λ，由已知：λa1a(n+1)=S1+S(n+1)

   两式相减得：λa1[a(n+1)-an]=S(n+1)-Sn=a(n+1) 

   即2[a(n+1)-an]=a(n+1)

   所以a(n+1)=2an 说明{an}是以2/λ为首项，以2为公比的等比数列

   此时，an=(2^n)/λ

2. a1>0，λ=100，由1知：an=(2^n)/100

   则lg(1/an)=lg100-lg(2^n)=lg100-nlg2

   lg2>0，所以lg(1/an)为关于n的单调减函数

   故当前n项全部为非负数的时候前n项和最大

   当n=6时，2^6<100，lg(1/an)>0，当n=7时，2^7>100，lg(1/an)<0

   所以当n=6时，前n项和最大

Answer 2

入a1an=S1+Sn
入a1a(n-1)=S1+S(n-1)
两式相减得：入a1(an-a(n-1))=an.再将其整理得：入a1=an/(an-a(n-1))。然后再将两边同时倒过来得：1/入a1=(an-a(n-1))/an=1-(a(n-1)/an)
最后整理得到an除以a(n-1)等于入a1除以入a1-1。为一个常数所以数列an为等比数列，且公比为入a1除以入a1-1.另外再对“常数入a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立”进行分析，可令n等于1时可求出入a1=2，所以该数列的公比为：入a1除以入a1-1=2，入为常数，故可求出a1=2/入。所以可求出数列an的通项公式为：an=a1乘以2的n-1次方即an=2的n次方除以入

an=2^n/入
入=100,an=2^n/100
lg1/an=-lgan=-lg(2^n/100)=-(lg2^n-lg100)=2-nlg2
Sn=2n-lg2*(n+1)n/2=-1/2lg2*n^2+(2-1/2lg2 )n
当n=-b/2a=(2-1/2lg2)/(lg2)=2/lg2-1/2约=6时有最大值.

追问

最后整理得到an除以a(n-1)等于入a1除以入a1-1 这步是怎么整理的？

追答

1/入a1=1-a(n-1)/an

a(n-1)/an=1-1/(入a1)=(入a1-1)/( 入a1)
an/a(n-1)=入a1/(入a1-1)