Question

如图1所示，已知二次函数y=ax 2 -6ax+c与x轴分别交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，-8t）（t

如图1所示，已知二次函数y=ax 2 -6ax+c与x轴分别交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，-8t）（t＞0）．（1）求a、c的值及抛物线顶点D的坐标（用含t的代数式表示）；（2）如图1，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数t的值；（3）如图2，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，-4）、（4，-3），边HG位于边EF的右侧．若点P是边EF或边FG上的任意一点（不与E、F、G重合），请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形；（4）将（3）中的正方形EFGH水平移动，若点P是正方形边FG或EH上任意一点，在水平移动过程中，是否存在点P，使以PA、PB、PC、PD的长度为边长构成平行四边形，其中PA、PB为对边．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）把点A、C的坐标（2，0）、（0，-8t）代入抛物线y=ax 2 -6ax+c得， 4a-12a+c=0 c=-8t ，解得 a=-t c=-8t ， 该抛物线为y=-tx 2 +6tx-8t=-t（x-3） 2 +t． ∴顶点D坐标为（3，t） （2）如图1，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM=1． 由题意得：O′A=OA=2． ∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°． ∴∠O′AC=∠OAC=60° ∴在Rt△OAC中： ∴OC= 3 ?AO=2 3 ， 即 -8t=-2 3 ． ∴ t= 3 4 ． （3）①如图2所示，设点P是边EF上的任意一点 （不与点E、F重合），连接PM． ∵点E（4，-4）、F（4，-3）与点B（4，0）在一直线上， 点C在y轴上， ∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB． 又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB， ∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD． ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． ②设P是边FG上的任意一点（不与点F、G重合）， ∵点F的坐标是（4，-3），点G的坐标是（5，-3）． ∴FB=3， GB= 10 ，∴3≤PB≤ 10 ． ∵PC＞4，∴PC＞PB． ∴PB≠PA，PB≠PC． ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． （4）t= 3± 2 7 或 1 7 或1． ∵已知PA、PB为平行四边形对边， ∴必有PA=PB． ①假设点P为FG与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形． 如图3所示，只有当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形． ∵点C的坐标是（0，-8t），点D的坐标是（3，t）， 又点P的坐标是（3，-3）， ∴PC 2 =3 2 +（-3+8t） 2 ，PD 2 =（3+t） 2 ． 当PC=PD时，有PC 2 =PD 2 即3 2 +（-3+8t） 2 =（3+t） 2 ． 整理得7t 2 -6t+1=0， ∴解方程得t= 3± 2 7 ＞0满足题意． ②假设当点P为EH与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形． 如图4所示，只有当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD 能构成一个平行四边形． ∵点C的坐标是（0，-8t），点D的坐标是（3，t）， 点P的坐标是（3，-4）， ∴PC 2 =3 2 +（-4+8t） 2 ，PD 2 =（4+t） 2 ． 当PC=PD时，有PC 2 =PD 2 即3 2 +（-4+8t） 2 =（4+t） 2 整理得7t 2 -8t+1=0， ∴解方程得t= 1 7 或1均大于＞0满足题意． 综上所述，满足题意的t= 3± 2 7 或 1 7 或1．