Question

已知：关于x的一元二次方程 x 2 +mx+ m-4 2 =0 ．（1）求证：不论m为何值时，方程总有两个

已知：关于x的一元二次方程 x 2 +mx+ m-4 2 =0 ．（1）求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根为x 1 和x 2 ，满足 x 1 2 +4 x 1 x 2 =16m x 2 +25 ，且x 1 ＜-x 2 ，求m的值．

Answer 1

（1）证明：△=m 2 -4×1× m-4 2 =m 2 -2m+8=（m-1） 2 +7． ∵（m-1） 2 ≥0 ∴（m-1） 2 +7＞0， ∴△＞0 ∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）∵x 1 和x 2 是方程x 2 +mx+ m-4 2 =0的两个实数根， ∴ x 21 +mx 1 + m-x 2 =0， x1+x 2 =-m，x 1 +x 2 = m-4 2 ∴ x 21 =-mx 1 - m-4 2 ． ∵16 x 21 +4x 1 x 2 =16mx 2 +25 ∴16（-mx 1 - m-4 2 ）+4x 1 x 2 -16mx 2 -25=0， 整理，得-16m（x 1 +x 2 ）+4x 1 x 2 -8m+7=0 -16m（-m）+4× m-4 2 -8m+7=0 16m 2 -6m-1=0 （2m-1）（8m+1）=0，m= 1 2 或m=- 1 8 ∵x 1 ＜-x 2 ∴x 1 +x 2 =-m＜0． ∴m＞0， ∴m= 1 2 ．