Question

抛物线y=mx 2 +（m-3）x-3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．（1）求

抛物线y=mx 2 +（m-3）x-3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P（x 1 ，b）与点Q（x 2 ，b）在（1）中的抛物线上，且x 1 ＜x 2 ，PQ=n．①求 4 x 1 2 -2 x 2 n+6n+3 的值；②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是______．

Answer 1

（1）解法一：∵抛物线y=mx 2 +（m-3）x-3（m＞0）与y轴交于点C， ∴C（0，-3）， ∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC， ∴B（3，0）或B（-3，0）， ∵点A在点B的左侧，m＞0， ∴抛物线经过点B（3，0）， ∴0=9m+3（m-3）-3， ∴m=1， ∴抛物线的解析式为y=x 2 -2x-3． 解法二：令y=0，∴mx 2 +（m-3）x-3=0．∴（x+1）（mx-3）=0． ∴x=-1，x= 3 m ， ∵m＞0，点A在点B的左侧， ∴A（-1，0），B（ 3 m ，0 ）， 令x=0，可得y=-3， ∴C（0，-3）， ∴OC=3， ∵OB=OC， ∴ 3 m =3 ， ∴m=1， ∴y=x 2 -2x-3． （2）①由抛物线y=x 2 -2x-3可知对称轴为x=1， ∵点P（x 1 ，b）与点Q（x 2 ，b）在这条抛物线上，且x 1 ＜x 2 ，PQ=n， ∴x 1 =1- n 2 ，x 2 =1+ n 2 ， ∴2x 1 =2-n，2x 2 =2+n， ∴原式=（2-n） 2 -（2+n）n+6n+3=7． ② 结合图形可得当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是：-4＜b＜-2或b=0．