Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，S n =2-（ 2 n +1）a n （n≥1）．（1）求证：数列{ a

已知数列{a n }的前n项和为S n ，S n =2-（ 2 n +1）a n （n≥1）．（1）求证：数列{ a n n }是等比数列；（2）设数列{2 n a n }的前n项和为T n ，A n = 1 T 1 + 1 T 2 + 1 T 3 +…+ 1 T n ．试比较A n 与 2 n a n 的大小．

Answer 1

（1）由a 1 =S 1 =2-3a 1 得a 1 = 1 2 ， 由S n =2-（ 2 n +1）a n 得S n-1 =2-（ 2 n-1 +1）a n-1 ， 于是a n =S n -S n-1 =（ 2 n-1 +1）a n-1 -（ 2 n +1）a n ， 整理得 a n n = 1 2 × a n-1 n-1 （n≥2）， 所以数列{ a n n }是首项及公比均为 1 2 的等比数列． （2）由（Ⅰ）得 a n n = 1 2 × ( 1 2 ) n-1 = 1 2 n ． 于是2 n a n =n，T n =1+2+3+…+n= n(n+1) 2 ， 1 T n = 2 n(n+1) =2( 1 n - 1 n+1 ) ， A n =2[（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+…+ ( 1 n - 1 n+1 ) =2（1- 1 n+1 ）= 2n n+1 ． 又 2 n a n = 2 n+1 n 2 ，问题转化为比较 2 n+1 n 2 与 2n n+1 的大小，即 2 n n 2 与 n n+1 的大小． 设f（n）= 2 n n 2 ，g（n）= n n+1 ． ∵f（n+1）-f（n）= 2 n [n(n-2)-1] [n(n+1)] 2 ，当n≥3时，f（n+1）-f（n）＞0， ∴当n≥3时f（n）单调递增， ∴当n≥4时，f（n）≥f（4）=1，而g（n）＜1，∴当n≥4时f（n）＞g（n）， 经检验n=1，2，3时，仍有f（n）≥g（n）， 因此，对任意正整数n，都有f（n）＞g（n）， 即A n ＜ 2 n a n ．