Question

求当x→0时xlnx的极限，需要过程

Answer 1

1. 当x→0时,xlnx的极限时0

2. 分析：当x→0时，lnx→-∞，所以该极限是0×∞型的极限，可以经过变形，利用洛必达法则求极限。

3. 解：原式=lim[lnx/(1/x)]

   =lim[(1/x)/(-1/x²)]……【利用洛必达法则】

   =lim[-x]

   =0

4. 洛必达法则简介如下：

   

   

   

Answer 2

这是一题0×∞的题目，一般思路是化为0比0型或者∞比∞型，再使用洛必达法则。
此题可以先化成lnx/（1/x），也可化成x/(1/(lnx))。出于求导的方便，我们使用前者。
lnx/（1/x）的分子分母分别求导，分子求导为1/x，分母求导为-1/x²，求导之后合在一起为（1/x）/（-1/x²）=-x
因此可以得出，此题极限为0

Answer 3

追答

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Answer 4

用泰勒公式去分解是核心。xlnx无穷乘以0，因为lnx的泰勒公式只针对x趋于1不适用想到洛必达
化成无穷比无穷形式
lnx/(1/x)上下同时取导，（1/x）/（-1/x²）再取极限于是得洛必达为0

将x变为x-1 x趋于1

追答

对不起打快了，首选尝试用泰勒公式去分解。xlnx无穷乘以0，因为lnx的泰勒公式只针对x趋于1不适用想到洛必达
化成无穷比无穷形式
lnx/(1/x)上下同时取导，（1/x）/（-1/x²）再取极限于是得洛必达为0

Answer 5

求函数极限的方法有：
（1）代入求值法
要注意非0数/0=∞
而对于0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞、0^0、∞^0、1^∞、log0(0)、log+∞（+∞）、log1（1）型的不定式要用以下方法去求解：
（2）约零因子法
（3）分子分母同除以最大项
（4）分子分母有理化
（5）无穷小乘以有界量等于无穷小
（6）等价无穷小，泰勒公式（等价无穷小就出自于泰勒公式）
在使用泰勒公式替代时，如果分子或分母是几个单独的函数的乘积时，各自只需替换到最低阶的泰勒公式；而如果分子是几个单独的函数相加减时，先确定分母的关于x(x→0时是x，x→a时是x-a)的无穷小的阶数，而分子中的每个单独的函数的泰勒公式的替代要使得x的最高次数与分母的关于x(x→0时是x，x→a时是x-a)的无穷小的阶数相一致，才能使替代准确无误。
（7）两个分式相减的情形要通分
（8）洛必达法则
洛必达法则要注意必须分子与分母都是0或者都是∞时才可以使用，否则会导致错误；如果洛必达法则使用后得到的极限是不存在的（振荡型的），不代表原极限就不存在，如lim（x→∞）sin x/x就是这个例子。
（9）换底公式、幂指型公式（x^y=e^(y*ln x)）、三角公式、双曲三角函数公式等等。
而这一题：可将xln x变形为ln x/(1/x)，再用洛必达法则，得到-x，当x趋于0时，答案就是0。