Question

如图，正比例函数 y= 1 2 x 与反比例函数 y= k x 的图象相交于A、B两点，过B作BC⊥x

如图，正比例函数 y= 1 2 x 与反比例函数 y= k x 的图象相交于A、B两点，过B作BC⊥x轴，垂足为C ，且△BOC的面积等于4．（1）求k的值；（2）求A、B两点的坐标；（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△POA为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设点B（x，y），则BC=|y|=-y，CO=|x|=-x， ∵B（x，y）在反比例函数 y= k x 的图象上， ∴xy=k，因△BOC的面积等于4， 1 2 BC?CO= 1 2 (-x)?(-y)= 1 2 xy=4 ， ∴k=8； （2）∵k=8，所以反比例函数的解析式为 y= 8 x ， 解方程组： y= 1 2 x y= 8 x ，得：x 1 =4，y 1 =2；x 2 =-4，y 2 =-2， ∴点A（4，2），B（-4，-2）； （3）存在． 当AP⊥x轴时，如图（1）点P（4，0）， 当AP⊥AO时，如图（2）设P（m，0），过点A作AD⊥x轴于D， 由A（4，2）得AD=2，DO=4，PD=m-4， 在Rt△ADO中，AO 2 =AD 2 +DO 2 =20， 在Rt△ADP中，AP 2 =AD 2 +DP 2 =4+（m-4） 2 ， 在Rt△AOP中，PO 2 =AO 2 +AP 2 ， 即：20+[4+（m-4） 2 ]=m 2 ，解得m=5， 所以P（5，0）， 综上，在x轴上存在点P（4，0）或P（5，0），使得△POA为直角三角形．