Question

如图，直线MN与线段AB相交于点O，点C和点D在直线MN上，且∠ACN=∠BDN=45°（1）如图1所示，当点C与点O重

如图，直线MN与线段AB相交于点O，点C和点D在直线MN上，且∠ACN=∠BDN=45°（1）如图1所示，当点C与点O重合时，且AO=OB，请写出AC与BD的数量关系和位置关系；（2）将图1所示中的MN绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，AO=OB，（1）中的AC与BD的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到如图3，求ACBD．

Answer 1

（1）AC=BD，BD⊥AC
理由：∵∠AON=∠DOB，且∠ACN=∠BDN=45°
∴∠BOD=∠BDO=45°．
∴BD=BC．
∵AC=BC，
∴AC=BD．
∵∠BOD+∠BDO+∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴BD⊥AC．

（2）AC=BD，BD⊥AC
理由：作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，延长AC交DB的延长线于点G，
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°．
∵∠ACN=∠GCM，且∠ACN=∠BDN=45°，
∴∠GCM=45°，
∴∠G=90°，
∴AC⊥DB．
在△AOE和△BOF中

∠AEO＝∠BFO ∠AOE＝∠BOF AO＝BO

，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=BF．
在△ACE和△BDF中

∠ACN＝∠BDN ∠AEC＝∠BFD AE＝BF

，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴AC=BD；

（3）作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°．
∵∠AOE=∠BOF，
∴△AEO∽△BFO，
∴

AE

BF

＝

AO

BO

=

1

k

．
∵∠ACN=∠BDN，∠AEC=∠BFD，
∴△ACE∽△BDF，
∴

AE

BF

＝

AC

BD

=

1

k

．
答：

AC

BD

=

1

k

．