Question

已知函数f（x）=x 2 +bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x 0 ∈B，x

已知函数f（x）=x 2 +bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x 0 ∈B，x 0 ?A则实数b的取值范围是（　　） A．b≠0 B．b＜0或b≥4 C．0≤b＜4 D．b≤4或b≥4

Answer 1

由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合． 由f（f（x））=0，可得 （x 2 +bx+c） 2 +b（x 2 +bx+c）+c=0，把x 2 +bx+c=0代入，解得c=0． 故函数f（x）=x 2 +bx，故由f（x）=0可得 x=0，或x=-b，故A={0，-b}． 方程f（f（x））=0，即 （x 2 +bx） 2 +b（x 2 +bx）=0，即 （x 2 +bx）（x 2 +bx+b）=0， 解得x=0，或x=-b，或 x= -b± b 2 -4b   2 ． 由于存在x 0 ∈B，x 0 ?A，故b 2 -4b≥0，解得b≤0，或b≥4． 由于当b=0时，不满足集合中元素的互异性，故舍去． 即实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4 }， 故选B．