Question

已知椭圆x22+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角α＝

已知椭圆x22+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角α＝π4，求|AB|；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

（1）直线l的方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得3x²+4x=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1＝0，x2＝

4

3

∴|AB|=

2

|x1?x2|＝

4

3

2

；
（2）设弦AB的中点M的坐标为（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依题意有

x12 2 +y12＝1 x22 2 +y22＝1 x1+x2＝2x y1+y2＝2y y1?y2 x1?x2 ＝ y x+1

，化简可得x²+x+2y²=0…（7分）
（3）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2＝1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），则x1+x2＝?<