Question

已知f（x）=lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与

已知f（x）=lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜b?a2a．

Answer 1

（1）∵f′(x)＝

1

x

，∴f'（1）=1．
∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．
∴直线l的方程为y=x-1．（2分）
又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，
∴方程组

y＝x?1 y＝ 1 2 x2+mx+ 7 2

有一解．
由上述方程消去y，并整理得x2+2（m-1）x+9=0①
依题意，方程①有两个相等的实数根，
∴△=[2（m-1）]2-4×9=0
解之，得m=4或m=-2
∵m＜0，∴m=-2．（5分）
（2）由（1）可知 g(x)＝

1

2

x2?2x+

7

2

，
∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）
∴h′(x)＝

1

x+1

?1＝

?x

x+1

．（7分）
∴当x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．
∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，
（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln

a+b

2a

=ln（1+

b?a

2a

）．
∵0＜b＜a，∴-a，∴?

1

2

＜

b?a

2a

＜0．
由（2）知当x∈（-1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（-1，0）时，ln（1+x）＜x，
ln（1+

b?a

2a

）＜

b?a

2a

．∴f（a+b）-f（2a）＜

b?a

2a