Question

已知f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2+mx+7/2(m<0)直线l与函数f(x).g(x)的图像都相切且与函数f(x)的图像切点横坐标为1

已知f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2+mx+7/2(m<0)直线l与函数f(x).g(x)的图像都相切且与函数f(x)的图像切点横坐标为1。 求（1）求直线l的方程及m的值；（2）若h(x)=f(x+1)-g’(x)(其中g’(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值。。。。在线等，麻烦写出具体步骤

Answer 1

因为直线l与函数f(x).g(x)的图像都相切且与函数f(x)的图像切点横坐标为1
设直线L方程是y=kx+b
f(x)=lnx
f'(x)=1/x
f'(1)=k=1/1=1
所以y=x+b
把x=1代入f(x)=lnx得f(1)=ln1=0
所以直线y=x+b这点（1,0)
所以代入方程得
0=1+b
b=-1
所以直线L方程是y=x-1
把y=x-1代入g(x)得
x-1=1/2x^2+mx+7/2
1/2x^2+(m-1)x+9/2=0
因为相切，所以只有一解，且判别式
△=b^2-4ac=0
(m-1)^2-4*1/2*9/2=0
(m-1)^2=9/4
m-1=±3/2
m=1±3/2
因为m<0
所以m=1-3/2=-1/2

(2)
g(x)=1/2x^2-1/2x+7/2
g'(x)=x-1/2
h(x)=f(x+1)-g'(x)
=ln(x+1)-x+1/2
因为有最大值，先求极值点
h'(x)=1/(x+1)-1=(1-x-1)/(x+1)=-x/(x+1)=0
所以当x=0时有极值点
h'(x)=-x/(x+1)=(-x-1+1)/(x+1)=-1+1/(x+1)
因为h(x)=ln(x+1)-x+1/2 的定义域是x+1>0 x>-1
所以当 -1<x<0时
0<x+1<1
1/(x+1)>1
1/(x+1)-1>0
所以h'(x)>0 即当-1<x<0时是增函数
当x>0时
x+1>1
0<1/(x+1)<1
1/(x+1)-1<0
所以h'(x)<0 即当x>0时是减函数
所以当x=0是h(x)的极大值点
所以函数h(x)的最大值h(0)=ln(0+1)-0+1/2=1/2

Answer 2

(1)设直线l的方程为y=kx+c
l与函数f(x)的图像切点横坐标为1
则切点纵坐标为y=ln1=0
切点为(1,0)
∴k=f'(1)=1
又直线经过点(1, 0)
代入直线方程得
0=1+c => c=-1
∴直线l的方程为y=x-1

又直线l与函数g(x)的图像相切
∴y=x-1
y=x²/2+mx+7/2
方程组有唯一解
即x-1=x²/2+mx+7/2有唯一解
x²/2+(m-1)x+9/2=0
△=(m-1)²-4*(1/2)*(9/2)=0
解得
m=4或m=-2
又m<0
∴m=-2

(2) h(x)=f(x+1)-g'(x)
=ln(x+1)-x+2
定义域为(-1, +∞)
h'(x)=1/(x+1)-1=0
x=0
h''(0)=-1/(x+1)²=-1<0
∴函数h(x)=f(x+1)-g'(x)最大值为
h(0)=ln1-0+2=2

Answer 3

(1)切点坐标（1，0），f'(x)=1/x,设直线的斜率为K，则K=f'(1)=1,所以直线方程可设为y=x+b,直线过点（1，0），∴b=-1,∴y=x-1,直线与g(x)相切，既是联立之后判别式等于0，∴x^2/2+mx+7/2=x-1,1/2x^2+(m+1)x+9/2=0,判别式=（m-1）^2-4×1/2×9/2=0∴（m-1）=正负3，m=4或m=-2
∵m<0,∴m=-2
(2)g(x)=1/2x^2-2x+7/2,g'(x)=x-2
h(x)=ln(x+1)-(x-2)=ln(x+1)-x+2,
因为x>-1,
所以h'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1),
∴f(x)在（-1，0）上↑，在（0，正无穷）↓。
h(x)在x=0处取得极大值，即是最大值，∴h(x)max=h(0)=2

Answer 4

1、直线与f(x)的切点的横坐标为x=1，则切点是(1，0)，且k=f'(1)=1，所以切线是y=x－1。又g'(x)=x＋m=1，即直线与g(x)切点的横坐标为x=1－m，得其纵坐标是y=－(1/2)m²＋4，代入切线方程中，有：m²－2m－8=0，得m=－2(m=4舍去)。
2、h(x)=ln(x＋1)－x＋2，则h'(x)=1/(x＋1)－1=(－x)/(x＋1)，由于x>－1，且h(x)在(－1，0)递增，在(0，＋∞)上递减，最大值为h(0)=2。

Answer 5

（1）解：由题意，l 与f(x)切点为（1,0）
则：l 斜率为1 则l方程是 y=x-1
联立：g(x)=1/2x^2+mx+7/2(m<0)
得：(m-1)^2-9=0
m=-2,m=4(舍)
（2） h(x)=f(x+1)-g'(x)
=ln(x+1)-x+2
定义域为(-1, +∞)
h'(x)=1/(x+1)-1=0
x=0，得最大值：h(0)=f(0+1)-g'(0)=ln(0+1)-0+2=2