Question

已知函数f（x）=x+1x，（x＞0），以点（n，f（n））为切点作函数图象的切线ln（n≥1，n∈Z），直线x=n+1

已知函数f（x）=x+1x，（x＞0），以点（n，f（n））为切点作函数图象的切线ln（n≥1，n∈Z），直线x=n+1与函数y=f（x）图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an=|AnBn|．（Ⅰ）求切线ln的方程及数列{an}的通项；（Ⅱ）设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：对f(x)＝x+

1

x

，（x＞0）求导，得f′(x)＝1?

1

x2

，
则切线l_n方程为：y?(n+

1

n

)＝(1?

1

n2

)(x?n)，即y＝(1?

1

n2

)x+

2

n

，
把x=n+1分别代入f(x)＝x+

1

x

及y＝(1?

1

n2

)x+

2

n

，
得An(n+1，n+1+

1

n+1

)，Bn(n+1，n+1+

n?1

n2

)，
由a_n=|A_nB_n|知，an＝|

1

n+1

?

n?1

n2

|=

1

n2(n+1)

；
（Ⅱ）证明：∵na_n=n?

1

n2(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

?

1

n+1

，
∴S_n=1?a₁+2?a₂+…+n?a_n
=1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

=1?

1

n+1

＜1．