已知函数f(x)＝x+tx(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．（Ⅰ）
已知函数f(x)＝x+tx(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式...
已知函数f(x)＝x+tx(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+64n]内总存在m+1个实数a1，a2，…，am，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求m的最大值．
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（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，
∵f′(x)＝1?
，
∴切线PM的方程为：y?(x1+
)＝(1?
)(x?x1)，
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0?(x1+
)＝(1?
)(1?x1)，
即x12+2tx1-t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，∴
（*）|MN|＝
=
，
把（*）式代入，得|MN|＝
，
因此，函数g（t）的表达式为g(t)＝
(t＞0)．
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA=kNA，
∴
=
，即
=
，
化简，得（x2-x1）[t（x2+x1）-x1x2]=0
∵x1≠x2，∴t（x2+x1）=x2x1．（3）
把（*）式代入（3），解得t＝
．
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且t＝
．
（Ⅲ）知g（t）在区间[2 ， n+
]上为增函数，
∴g(2)≤g(ai)≤g(n+
)（i=1，2，，m+1），
则m?g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am)≤m?g(n+
)．
依题意，不等式m?g(2)＜g(n+
)对一切的正整数n恒成立，
m
＜
，
即m＜
对一切的正整数n恒成立．
∵n+
∵f′(x)＝1?
| t |
| x2 |
∴切线PM的方程为：y?(x1+
| t |
| x1 |
| t |
| x12 |
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0?(x1+
| t |
| x1 |
| t |
| x12 |
即x12+2tx1-t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，∴
|
(x1?x2)2+(x1+
|
=
[(x1+x2)2?4x1x2][1+(1?
|
把（*）式代入，得|MN|＝
| 20t2+20t |
因此，函数g（t）的表达式为g(t)＝
| 20t2+20t |
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA=kNA，
∴
x1+
| ||
| x1?0 |
x2+
| ||
| x2?0 |
| x12+t?x1 |
| x12 |
| x22+t?x2 |
| x22 |
化简，得（x2-x1）[t（x2+x1）-x1x2]=0
∵x1≠x2，∴t（x2+x1）=x2x1．（3）
把（*）式代入（3），解得t＝
| 1 |
| 2 |
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且t＝
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）知g（t）在区间[2 ， n+
| 64 |
| n |
∴g(2)≤g(ai)≤g(n+
| 64 |
| n |
则m?g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am)≤m?g(n+
| 64 |
| n |
依题意，不等式m?g(2)＜g(n+
| 64 |
| n |
m
| 20?22+20?2 |
20(n+
|
即m＜
|
∵n+
