Question

已知p(x0,y0)是函数f(x)=lnx图像上一点，过点p的切线与x轴交于B，过点p作x轴的垂线，垂足为A，求点B的坐标

（2）若x0属于（0,1），求△PAB的面积S的最大值，并求此时X0的值

Answer 1

第一个问题：
∵f（x）＝lnx，∴求导数，得：f′（x）＝1/x，∴过点（x0，y0）的切线的斜率＝1/x0。
设点B的坐标为（m，0），则（y0－0）/（x0－m）＝1/x0，∴x0y0＝x0－m，∴m＝x0－x0y0。
即点B的坐标是（x0－x0y0，0）。

第二个问题：
∵P的坐标是（x0，y0），又PA⊥x轴，∴A的坐标是（x0，0）。
显然，｜AB｜＝｜（x0－x0y0）－x0｜＝｜x0y0｜，　｜PA｜＝｜y0｜。
∴△PAB的面积S＝（1/2）｜AB｜｜PA｜＝（1/2）｜x0y0｜｜y0｜＝（1/2）x0y0^2。
自然，有：y0＝lnx0，　∴S＝（1/2）x0（lnx0）^2。
求导数，得：
S′＝（1/2）（lnx0）^2＋（1/2）x0（2lnx0）（1/x0）＝（1/2）（lnx0）^2＋lnx0。
S″＝lnx0（1/x0）＋1/x0。
令S′＝0，得：（1/2）（lnx0）^2＋lnx0＝0。
∵x0∈（0，1），∴inx0＜0，∴方程（1/2）（lnx0）^2＋lnx0＝0两边同除以lnx0，得：
（1/2）lnx0＋1＝0，∴lnx0＝－2，∴x0＝e^（－2）＝1/e^2。
此时，S″＝lnx0（1/x0）＋1/x0＝－2［1/e^（－2）］＋1/e^（－2）＜0。
∴当x0＝e^（－2）时，S取得最大值。
此时S＝（1/2）［e^（－2）］［lne^（－2）］^2＝（1/2）×（－2）^2/e^2＝2/e^2。
即：当x0＝1/e^2时，△PAB的面积最大，且最大值是2/e^2。