Question

（2014?长春一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A

（2014?长春一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A运动到终点B；同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度从点C运动到终点B，连结PQ；过点P作PD⊥AC交AC于点D，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB为邻边作?A′PBE，A′E交射线BC于点F，交射线PQ于点G．设?A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形的面积为Scm2，点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，点A′与点C重合；（2）用含t的代数式表示QF的长；（3）求S与t的函数关系式；（4）请直接写出当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时t的值．

Answer 1

（1）如图1，

由题可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．
∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．
∵∠ADP=∠ACB=90°，
∴PD∥BC．
∴△ADP∽△ACB．
∴

AD

AC

=

PD

BC

=

AP

AB

．
∴

AD

8

=

PD

6

=

5t

10

．
∴AD=4t，PD=3t．
∴AA′=2AD=8t．
当点A′与点C重合时，AA′=AC．
∴8t=8．
∴t=1．

（2）①当点F在线段BQ上（不包括点B）时，如图1，

则有CQ≤CF＜CB．
∵四边形A′PBE是平行四边形，
∴A′E∥BP．
∴△CA′F∽△CAB．
∴

CF

CB

=

CA′

CA

．
∴

CF

6

=

8?8t

8

．
∴CF=6-6t．
∴3t≤6-6t＜6．
∴0＜t≤

2

3

．
此时QF=CF-CQ=6-6t-3t=6-9t．
②当点F在线段CQ上（不包括点Q）时，如图2，

则有0≤CF＜CQ．
∵CF=6-6t，CQ=3t，
∴0≤6-6t＜3t．
∴

2

3

＜t≤1．
此时QF=CQ-CF=3t-（6-6t）=9t-6．
③当点F在线段BC的延长线上时，如图3，

则有AA′＞AC，且AP＜AB．
∴8t＞8，且5t＜10．
∴1＜t＜2．
同理可得：CF=6t-6．
此时QF=QC+CF=3t+6t-6=9t-6．
综上所述：当0＜t≤

2

3

时，QF=6-9t；当

2

3

＜t＜2时，QF=9t-6．

（3）①当0＜t≤

2

3

时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图4，

则有A′M=CQ=3t．
∵

BP

BA

=

10?5t

10

=

2?t

2

，

BQ

BC

=

6?3t

6

=

2?t

2

，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴∠BQP=∠BCA．
∴PQ∥AC．
∵AP∥A′G．
∴四边形APGA′是平行四边形．
∴PG=AA′=8t．
∴S=S<