Question

如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点

如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E。 （1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC边中点， 时，如图（2），求 的值；（3）当O为AC边中点， 时，请直接写出 的值。

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Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠DAC+∠C=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAF+∠DAC=90°， ∴∠BAF=∠C， ∵OE⊥OB， ∴∠BOA+∠COE=90°， ∵∠BOA+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠COE， ∴△ABF∽△COE；
（2）如图，作OG⊥AC，交AD的延长线于G， ∵AC=2AB，O是AC边的中点， ∴AB=OC=OA， 由（1）有△ABF∽△COE， ∴△ABF≌△COE， ∴BF=OE， ∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°， ∴∠DAC=∠ABD， 又∠BAC=∠AOG=90°，AB=OA， ∴△ABC≌△OAG， ∴OG=AC=2AB， ∵OG⊥OA， ∴AB∥OG， ∴△ABF∽△GOF， ∴ 。