Question

如图，过抛物线y 2 =2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B

如图，过抛物线y 2 =2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0 ∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0） ∴联立方程 y=kx y 2 =2px 解得 x A = 2p k 2 ， y A = 2p k （4分） 以 - 1 k 代上式中的k，解方程组 y=- 1 k x y 2 =2px ，解得x B =2pk 2 ，y B =-2pk ∴A（ 2p k 2 ， 2p k ），B（2pk 2 ，-2pk）（8分） （2）设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得 x=p( 1 k 2 + k 2 ) y=p( 1 k -k) （10分） 消去参数k，得y 2 =px-2p 2 ；即为M点轨迹的普通方程．（12分）