如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,

如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.(1)求线段DE的长;(2)设直... 如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.(1)求线段DE的长;(2)设直线ED分别交OA、OB的延长线于点M和点N,试问线段ME、ED、DN之间有什么数量关系,并说明理由;(3)若BC=1,则△DOE的面积=15+303215+3032. 展开
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神小辛7Ve
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(1)连接AB,如图1.
∵OA=OB=2,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,AB=
OA2+OB2
=2
2

∵OD⊥BC,OE⊥AC,
∴BD=DC,AE=EC.
∴DE为△ABC的中位线.
∴DE∥AB,DE=
1
2
AB=
2

∴线段DE的长为
2


(2)ED2=ME2+DN2
证明:连接OC并延长到点G,使得OG=OM,连接AB,如图2.
∵DE∥AB(已证),
∴∠M=∠OAB=45°,∠N=∠OBA=45°.
∴∠M=∠N=45°.
∴OM=ON.
∴OM=ON=OG.
∵OE垂直平分AC,
∴OA=OC.
∴∠AOE=∠COE.
同理可得:∠COD=∠BOD.
在△OEM与△OEG中,
OM=OG
∠MOE=∠GOE
OE=OE

∴△OEM≌△OEG.
∴ME=GE,∠M=∠EGO.
同理可得:DN=DG,∠N=∠DGO.
∴∠EGD=∠EG0+∠DGO=∠M+∠N=45°+45°=90°.
∴DE2=EG2+DG2
∴DE2=ME2+DN2

(3)过点D作DH⊥OE于H,连接OC,如图3,
则有∠AOE=∠COE,∠COD=∠BOD(已证).
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=
1
2
(∠COD+∠BOD+∠AOE+∠COE)
=
1
2
∠AOB=45°.
∵∠ODB=90°,OB=2,BD=
1
2
BC=
1
2

∴OD=
OB2?BD2
=
15
2

在Rt△OHD中,
DH=OD?sin∠DOH=
15
2
×
2
2
=
30
4

OH=OD?cos∠DOH=
15
2
×
2
2
=
30
4

在Rt△DHE中,
HE=
DE2?DH2
=
(
2
)2?(
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