Question

已知椭圆： 上一点 及其焦点 满足 ⑴求椭圆的标准方程。⑵如图，过焦点F 2 作两条互相垂直的弦AB，

已知椭圆： 上一点 及其焦点 满足 ⑴求椭圆的标准方程。⑵如图，过焦点F 2 作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。①线段MN是否恒过一个定点？如果经过定点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由；②求分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程。

Answer 1

已知椭圆： 上一点 及其焦点 满足 ⑴求椭圆的标准方程。 ⑵如图，过焦点F 2 作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。 ①线段MN是否恒过一个定点？如果经过定点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由； ②求分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程。

，其轨迹是过定点 的圆，MN恒过定点

解：⑴ ………………………3分 ⑵①设直线AB的方程为： 并整理得： {007}设 ，则有： 所以点             …………3分 ，∴将t换成 ，即得：    …………5分 由两点式得直线MN的方程为 当y=0时， 所以直线MN恒过定点 。          …………7分 ②以弦AB为直径的圆M的方程为： ①…………9分 又 将t换成 ，即得以弦CD为直径的圆N的方程为： ②…………10分 ①—②得两圆公共弦所在直线方程为： ③ 又直线MN的方程为： ④…………12分 联解③④，消去 ，得两圆公共弦中点的轨迹方程为： 。 其轨迹是过定点 的圆。…………13分