Question

已知数列{an}满足2an+1=an+an+2（n∈N+），其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=

已知数列{an}满足2an+1=an+an+2（n∈N+），其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，n∈N+，求Tn．

Answer 1

（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），知{a_n}为等差数列，设等差数列的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程组

2+3d+2q3＝27 8+6d?2q3＝10

，
解得

d＝3 q＝2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ．
（2）由（Ⅰ）知a_n?b_n=（3n-1）?2ⁿ，
T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
则T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①；
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②．
由①-②得，-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6×(1?2n)

1?2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
所以T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．