已知函数f(x)=lnx?ax,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的单调递增区间;(2)若f(x)在[1,e]
已知函数f(x)=lnx?ax,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的单调递增区间;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求出a的值....
已知函数f(x)=lnx?ax,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的单调递增区间;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求出a的值.
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(1)当a=1时,f(x)=lnx?
,其定义域为(0,+∞)
f′(x)=
+
=
令f'(x)>0,得x>-1,又x∈(0,+∞),
所以f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
(2)f′(x)=
+
=
,x∈(0,+∞)
①当a≥-1时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=-a,
由?a=
,得a=?
(舍去);
②当a≤-e时,f'(x)≤0恒成立,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=1?
,
由1?
=
,得a=?
(舍去);
③当-e<a<-1时,令f'(x)=0,得x0=-a.
当1<x<-a时,f'(x)<0,
∴f(x)在(1,-a)上为减函数;
当-a<x<e时,f'(x)>0
∴f(x)在(-a,e)上为增函数.
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1,
由ln(?a)+1=
,得a=?
.
综上所述,a=?
.
1 |
x |
f′(x)=
1 |
x |
1 |
x2 |
x+1 |
x2 |
令f'(x)>0,得x>-1,又x∈(0,+∞),
所以f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
(2)f′(x)=
1 |
x |
a |
x2 |
x+a |
x2 |
①当a≥-1时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=-a,
由?a=
3 |
2 |
3 |
2 |
②当a≤-e时,f'(x)≤0恒成立,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=1?
a |
e |
由1?
a |
e |
3 |
2 |
e |
2 |
③当-e<a<-1时,令f'(x)=0,得x0=-a.
当1<x<-a时,f'(x)<0,
∴f(x)在(1,-a)上为减函数;
当-a<x<e时,f'(x)>0
∴f(x)在(-a,e)上为增函数.
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1,
由ln(?a)+1=
3 |
2 |
e |
综上所述,a=?
e |
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