Question

已知函数f（x）=axlnx+b（a，b∈R）的图象过点（1，0）且在此点处的切线斜率为1．（1）求函数f（x）的单

已知函数f（x）=axlnx+b（a，b∈R）的图象过点（1，0）且在此点处的切线斜率为1．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若g（x）=12x2-mx+32，存在x0∈（0，+∞）使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由已知可得f（1）=0，f′（1）=1，得b=0，a=1．f（x）=xlnx，f′（x）=1+lnx（x＞0）
由f′（x）＜0得，0＜x＜

1

e

，所以函数f（x）的单调减区间为（0，

1

e

）．
（2）存在x₀∈（0，+∞）使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即f（x）≥g（x）在（0，+∞）上解集不空．
?xlnx≥

1

2

x²-mx+

3

2

解集不空?存在x使得m≥

1

2

x+

3

2x

-lnx成立
?m≥（

1

2

x+

3

2x

-lnx）min，
设h（x）=

1

2

x+

3

2x

-lnx（x＞0），h′（x）=

1

2

?

3

2x2

?

1

x

=

(x+1)(x?3)

2x3

当0＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞3时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）最小值h（3）=2-ln3，∴实数m的取值范围m≥2-ln3．