Question

已知函数f(x)=x+1/x+alnx的图象上任意一点的切线中,斜率为2的切线有且仅有一条.求

已知函数f(x)=x+1/x+alnx的图象上任意一点的切线中,斜率为2的切线有且仅有一条.(1)求实数a的值；（2）求函数g(x)=f(x)+2x的极值

Answer 1

第一个问题：
∵f（x）＝x＋1/x＋alnx，∴f′（x）＝1－1/x^2＋a/x。
依题意，有：1－1/x^2＋a/x＝2、且x有唯一的确定值。
由1－1/x^2＋a/x＝2，得：1/x^2－a/x＋1＝0。
∵方程1/x^2－a/x＋1＝0中的x唯一，∴该方程中的（1/x）唯一，∴需要：a^2－4＝0，
∴a＝2，或a＝－2。

第二个问题：
一、当a＝2时，f（x）＝x＋1/x＋2lnx，∴g（x）＝f（x）＋2x＝3x＋1/x＋2lnx，
　　∴g′（x）＝3－1/x^2＋2/x，∴g″（x）＝2/x^3－2/x^2。
　　令g′（x）＝0，得：3－1/x^2＋2/x＝0，∴1/x^2－2/x＋3＝0，∴（1/x－3）（1/x＋1）＝0。
　　考虑到函数的定义域，有：x＞0，∴1/x＝3。
　　
　　此时，g″（x）＝2/x^3－2/x^2＝2×37－2×9＞0，∴此时函数g（x）有极小值，
　　极小值＝g（1/3）＝3×（1/3）＋3＋3ln（1/3）＝4－3ln3。

二、当a＝－2时，f（x）＝x＋1/x－2lnx，∴g（x）＝f（x）＋2x＝3x＋1/x－2lnx，
　　∴g′（x）＝3－1/x^2－2/x，∴g″（x）＝2/x^3＋2/x^2。
　　令g′（x）＝0，得：3－1/x^2－2/x＝0，∴1/x^2＋2/x－3＝0，∴（1/x＋3）（1/x－1）＝0。
　　考虑到函数的定义域，有：x＞0，∴1/x＝1。

　　此时，g″（x）＝2/x^3＋2/x^2＝2＋2＞0，∴此时函数有极小值，
　　极小值＝g（1）＝3×1＋1＋2ln1＝4。