(2014?苏州高新区一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴负半轴交于

(2014?苏州高新区一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴负半轴交于B,与正半轴交于点C(8,0),且∠BAC=90°... (2014?苏州高新区一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴负半轴交于B,与正半轴交于点C(8,0),且∠BAC=90°.(1)求该二次函数解析式;(2)若N是线段BC上一动点,作NE∥AC,交AB于点E,连结AN,当△ANE面积最大时,求点N的坐标;(3)若点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,设所得△PAC的面积为S.问:是否存在一个S的值,使得相应的点P有且只有2个?若有,求出这个S的值,并求此时点P的横坐标;若不存在,请说明理由. 展开
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夜摹降临垳
2014-08-21 · 超过77用户采纳过TA的回答
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(1)∵∠BAC=90°,∠AOC=90°,
∴由射影定理可得出:OA2=OB?OC,
由题意知:OA=4,OC=8,
∴42=OB?8,
∴OB=2,
∴B(-2,0),
将A、B、C三点坐标代入即得:
c=4
4a?2b+c=0
64a+8b+c=0

解得:
a=?
1
4
b=
3
2
c=4

∴抛物线解析式为:y=-
1
4
x2+
3
2
x+4;

(2)设N(n,0),则BN=n+2,BA=10,
∵NE∥AC,
∴△BNE∽△BAC,
S△BEN
S△BAC
=(
BN
BC
2
∵S△BAC=
1
2
×10×4=20,
S△BEN
20
=(
n+2
10
2
S△BEN=
1
5
(n+2)2
∵S△BAN=
1
2
×(n+2)×4=2n+4,
∴S△ANE=(2n+4)-
1
5
(n+2)2=-
1
5
(n-3)2+5,
∵a=-
1
5

∴当n=3时,最大值S△ANE=5,
此时N的坐标为:(3,0);

(3)设直线AC对应的函数解析式为:y=kx+b,
b=4
8k+b=0

解得:
k=?
1
2
b=4

∴直线AC对应的函数解析式为:y=-
1
2
x+4,
如图,过P作PH⊥OC,垂足为H,交直线AC于点Q;
设P(m,-
1
4
m2+
3
2
m+4),则Q(m,-
1
2
m+4).
①当0<m<8时,
PQ=(-
1
4
m2+
3
2
m+4)-(-
1
2
m+4)=-
1
4
m2+2m,
S=S△APQ+S△CPQ=
1
2
×8×(-
1
4
m2+2m)=-(m-4)2+16,
∴0<S≤16;
②当-2<m<0时,
PQ=(-
1
2
m+4)-(-
1
4
m2+
3
2
m+4)=
1
4
m2-2m,
S=S△CPQ-S△APQ=
1
2
×8×(
1
4
m2-2m)=(m-4)2-16,
∴0<S<20;
∴当0<S<16时,0<m<8中有m两个值,-2<m<0中m有一个值,此时有三个;
当16<S<20时,-2<m<0中m只有一个值;
当S=16时,m=4或m=4-4
2
这两个.
故当S=16时,相应的点P有且只有两个.
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